aud20004-2024-2

ayudantía-04

viernes 05 abril 2024

resumen

vectores

un vector es un objeto geométrico que representa una dirección y un sentido dentro de un sistema de coordenadas. En general se representa como una flecha.

el vector de dos dimensiones $\vec{V}$ de coordenadas $(V_x, V_y)$ se grafica de la siguiente manera:

modulo, magnitud o amplitud de un vector $||\vec{V}||$

el módulo o amplitud de un vector nos dice su tamaño.

\[||\vec{V}|| = \sqrt{V_x^2 + V_y^2}\]

componentes de un vector

teniendo el ángulo de un vector y su magnitud es posible calcular las componentes del vector utilizando trigonometría.

\[\vec{F} = (F \cdot cos(\alpha), F \cdot sen(\alpha))\]

movimiento uniformemente acelerado en 2D

vector aceleración constante en el tiempo

\[\vec{a}(t) = (a_x, a_y) \ [m/s^2]\]

vector velocidad en el tiempo

\[\vec{v}(t) = \vec{v_0} + \vec{a} \cdot t\]

vector pósición en el tiempo

\[\vec{x}(t) = \vec{x_0} + \vec{v_0} \cdot t + \frac{1}{2} \vec{a} \cdot t^2\]

dinámica en 2D

segunda ley de Newton vectorial

\[\vec{F} = m \cdot \vec{a}\]

diagrama de cuerpo libre

recomiendo revisar los siguientes videos del canal de Youtube “Susi Profe”:

• Fuerzas que actúan sobre un cuerpo

• Fuerza peso

• Calcular fuerza resultante

• Suma de fuerzas por componentes rectangulares

fuerza normal

Es la fuerza que impide que los cuerpos se hundan en la superficie en que están sostenidos. Aparece por consecuencia de la tercera ley de newton (acción y reacción).

En una superficie plana, la fuerza normal es igual a la fuerza peso del cuerpo.

\[\vec{N} = \vec{W}\]

Si estamos en un plano inclinado, la normal es igual a la componente del “vector peso”, perpendicular a la superficie de contacto.

\[\vec{N} = \vec{W_y}\]

fuerza de roce estático y dinámico

la fuerza de roce $F_r$ es una fuerza que se opone al movimiento de los cuerpos. Es igual a un porcentaje de la fuerza normal. este porcentaje se le conoce como coeficiente de roce y suele escribirse con la letra $\mu$.

\[\vec{F_r} = \mu \cdot \vec{N}\]

la fuerza de roce cambia si el cuerpo está estático o ya está en movimiento. el coeficiente de roce estático $\mu_e$ suele ser mayor que el coeficiente de roce dinámico $\mu_d$.

ejercicio-01

si una pelota de basketball se mueve a una velocidad constante de $\vec{v} = (2, 3) [m/s]$, responda:

• ¿cuál es su velocidad en el eje $\hat{x}$ de coordenadas?

• ¿cuál es su velocidad en el eje $\hat{y}$ de coordenadas?

• ¿en qué eje de coordenadas se desplazará más rápido?

• calcule la velocidad lineal de la pelota.

solución-ejercicio-01

• su velocidad en el eje $\hat{x}$ es de $2 [m/s]$.

• su velocidad en el eje $\hat{y}$ es de $3 [m/s]$.

• se desplazará más rápido en el eje $\hat{y}$ (hacia arriba).

• para encontrar la velocidad lineal de la pelota, calculamos la magnitud del vector velocidad:

\[||\vec{v}|| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}\] \[||\vec{v}|| = \sqrt{2^2 + 3^2}\] \[||\vec{v}|| = \sqrt{4 + 9}\] \[||\vec{v}|| = \sqrt{13}\] \[||\vec{v}|| \approx 3.605 \ [m/s]\]

ejercicio-02

si una pelota de tenis de $50[g]$ es golpeada con una fuerza de $20 N$ con un ángulo de incidencia $60°$.

• calcule el vector fuerza ejercido a la pelota al momento de ser golpeada.

• ¿en qué eje de coordenadas recibe mayor fuerza?

• calcule el vector aceleración ejercida en la pelota al momento de ser golpeada.

• calcule la aceleración lineal ejercida en la pelota al momento de ser golpeada.

solución-ejercicio-02

• para calcular el vector fuerza utilizamos trigonometría:

\[\vec{F} = (F \cdot cos(\alpha), F \cdot sen(\alpha))\] \[\vec{F} = (20 N \cdot cos(60°), 20 N \cdot sen(60°))\] \[\vec{F} \approx (10, 17.32) N\]

• por lo tanto, recibe una fuerza mayor en el eje $\hat{y}$ (hacia arriba).

• para calcular la aceleración, aplicamos la versión vectorial de la segunda ley de newton:

\[\vec{F} = m \cdot \vec{a}\] \[\vec{a} = \frac{\vec{F}}{m}\] \[\vec{a} = \frac{(10, 17.32) N}{50[g]}\] \[\vec{a} = \frac{(10, 17.32) N}{0.05[kg]}\] \[\vec{a} = \left(\frac{10 N}{0.05 kg}, \frac{17.32 N}{0.05 kg }\right)\] \[\vec{a} = (200[m/s^2], 346[m/s^2])\] \[\vec{a} = (200, 346) \ [m/s^2]\]

• la aceleración lineal se calcula con el módulo del vector aceleración:

\[||\vec{a}|| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2}\] \[||\vec{a}|| = \sqrt{200^2 + 346^2}\] \[||\vec{a}|| \approx 400 [m/s^2]\]

ejercicio-03

una bola de billar de $150[g]$ experimenta una aceleración vectorial constante $\vec{a} = (1,2)\cdot \frac{m}{s^2}$.

• calcule el vector fuerza que experimenta.

• asumiendo que la bola de billar parte en la posición $x = (0,0) \cdot m$ y velocidad $\vec{v} = (0,0) \frac{m}{s}$, calcule el vector posición de la bola de billar en $t = 2 s$.

solución-ejercicio-03

• el vector fuerza se calcula utilizando la versión vectorial de la segunda ley de newton:

\[\vec{F} = m \cdot \vec{a}\] \[\vec{F} = 150 g \cdot (1,2)\cdot \frac{m}{s^2}\] \[\vec{F} = 0.150 kg \cdot (1,2) \cdot \frac{m}{s^2}\] \[\vec{F} = (0.150 \cdot kg, 2 \cdot 0.150 \cdot kg) \cdot \frac{m}{s^2}\] \[\vec{F} = (0.150, 0.3) \cdot kg \cdot \frac{m}{s^2}\] \[\vec{F} = (0.150, 0.3) \cdot N\]

• el vector posición en $t=2[s]$ utilizamos las fórmulas del movimiento uniformemente acelerado pero ahora de forma vectorial.

\[\vec{x}(t) = \begin{pmatrix}x*{1*{inicial}} + v*{1*{inicial}} \cdot t + \frac{1}{2} \cdot a*1 \cdot t^2 \\ x*{2*{inicial}} + v*{2\_{inicial}} \cdot t + \frac{1}{2} \cdot a_2 \cdot t^2 \end{pmatrix}\] \[\vec{x}(2[s]) = \begin{pmatrix}0 + 0 \cdot 2[s] + \frac{1}{2} \cdot 1[m/s^2] \cdot (2[s])^2 \\ 0 + 0 \cdot 2[s] + \frac{1}{2} \cdot 2[m/s^2] \cdot (2[s])^2 \end{pmatrix}\] \[\vec{x}(2[s]) = \begin{pmatrix}\frac{1}{2} \cdot 1[m/s^2] \cdot 4[s^2] \\ \frac{1}{2} \cdot 2[m/s^2] \cdot 4[s^2] \end{pmatrix}\] \[\vec{x}(2[s]) = \begin{pmatrix}2[m] \\ 4[m] \end{pmatrix}\]

ejercicio-04

en un plano inclinado de $30°$ se abandona un cuerpo que empieza a caer lentamente. el coeficiente de rozamiento entre el plano y el objeto es de $\mu = 0.2$.

calcule la aceleración del cuerpo.

solución-ejercicio-04

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