jueves 08 agosto 2024
en el curso anterior de matemáticas aprendimos a describir coordenadas, superficies, figuras, etc.
preguntas para estudiantes:
hoy haremos una breve introducción a artistas, diseñadoras y proyectos como inspiración para este curso de física.
este semestre aprenderemos los fundamentos de física necesarios para su práctica de diseñadores, incluyendo temas como:
Diseño UDP https://diseno.udp.cl/
la clase de hoy es la unidad 0: vectores y fuerzas
un escalar posee:
ejemplos de escalares en fīsica:
para hacer aritmética (suma, resta, multiplicación y división) entre vectores, basta con trabajar estas cantidades como si fueran números, y respetar las unidades, teniendo mucho cuidado con las equivalencias entre unidades.
un vector posee:
ejemplos de vectores en física:
si queremos representar cualquier punto en el plano XY, debemos hacer los siguientes pasos:
se llaman vectores unitarios porque su magnitud es 1.
con el sistema cartesiano que hemos usado hasta ahora, en honor a René Descartes, usamos los vectores unitarios x e y, que son perpendiculares entre sí. con ellos podemos describir cualquier posición en el plano, como la siguiente suma:
\[\vec{P} = x \cdot \hat{x} + y \cdot \hat{y}\]por ejemplo, el punto C en (-11, 3) puede ser descrito así:
\[\vec{C} = (-11, 3) = -11 \cdot \hat{x} + 3 \cdot \hat{y}\]notar que podemos describir cualquier punto en el plano XY como la suma ponderada de los vectores unitarios x e y porque estos vectores son perpendiculares, y permiten movernos a lo largo de todo el plano.
otra manera de representar el plano es de forma polar, con un vector unitario de radio $\hat{r}$, y un ángulo $\theta$.
para convertir entre coordenadas cartesianas y polares, consideremos el vector P:
\[\vec{P} = (x, y) = x \hat{x} + y \hat{y}\]si dibujamos la distancia entre el origen y el punto P y le llamamos r, podemos notar que r es la hipotenusa, y los valores de x e y los catetos de un triángulo rectángulo. si llamamos theta al ángulo entre eje X y r, podemos usar las identidades de seno y coseno del triángulo rectángulo.
\[sin(\theta) = \frac{cateto opuesto}{hipotenusa} = \frac{y}{r}\] \[cos(\theta) = \frac{cateto adyacente}{hipotenusa} = \frac{x}{r}\]y si despejamos x e y de estas ecucaciones obtenemos las siguientes expresiones para convertir de coordenadas polares a cartesianas:
\[x = r \cdot cos(\theta)\] \[y = r \cdot sin(\theta)\]y si queremos hacer lo inverso, convertir de coordenadas a cartesianas, tenemos las ecuaciones:
\[r = \sqrt{x^2 + y^2}\] \[\theta = atan2(x, y)\]donde atan2 es una versión especial de la arcotangente
para más info revisar acá: https://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_polares
para sumar y restar vectores, podemos descomponer en distintas coordenadas y tratarlas por separado.
por ejemplo:
\[\vec{A} = 5 \hat{x} + 3 \hat{y} \brack \vec{B} = 7 \hat{x} - 1 \hat{y}\]si sumamos los vectores A y B obtenemos:
\[\vec{A} + \vec{B} = (5 \hat{x} + 3 \hat{y}) + (7 \hat{x} - 1 \hat{y}) = (5 + 7) \hat{x} + (3 - 1) \hat{y} = 12 \hat{x} + 2 \hat{y}\]y si restamos los vectores A y B obtenemos:
\[\vec{A} - \vec{B} = (5 \hat{x} + 3 \hat{y}) - (7 \hat{x} - 1 \hat{y}) = (5 - 7) \hat{x} + (3 - (-1)) \hat{y} = -2 \hat{x} + 4 \hat{y}\]multiplicar y dividir vectores por un escalar, permite escalar cada una de las componentes del vector.
por ejemplo si multiplicamos el vector A por el escalar 5:
\[5 \cdot \vec{A} = 5 \cdot (5 \hat{x} + 3 \hat{y}) = (5 \cdot 5) \hat{x} + (3 \cdot 5) \hat{y} = 25 \hat{x} + 15 {y}\]y dividir funciona igual, afectando cada componente, por ejemplo si dividimos el vector B por 2:
\[\frac{1}{2} \cdot \vec{B} = \frac{1}{2} (7 \hat{x} - 1 \hat{y}) = \frac{7}{2} \hat{x} - \frac{1}{2} \hat{y} = 3.5 \hat{x} - 0.5 \hat{y}\]una fuerza en física es una influencia que puede hacer cambiar el movimiento de un cuerpo.
una fuerza es un vector: tiene una magnitud y una dirección.
las fuerzas se miden en Newton (N), que equivale a:
\[1N = 1\frac{kg \cdot m}{s^2}\]en la naturaleza conocemos 4 fuerzas fundamentales:
estas 2 tienen un alcance infinito:
estas 2 actúan a corta distancia:
Aristóteles (~300 a.C.), postulaba que el estado natural de los cuerpos es el reposo. que para sacarlos del reposo, se le aplica una fuerza, y con esto los cuerpos adquieren velocidad. y que esta relación es directamente proporcional a la masa, resultado en la ecuación ahora desechada por la física:
\[\vec{F} = m \cdot \vec{v}\]un elemento fundamental que no fue incluido en este modelo, fue la consideración de fuerzas como el roce o fricción. la física de Aristóteles también postulaba que cuando los cuerpos caen en caída libre, los objetos más pesados caen más rápido que los objetos más livianos.
esta observación viene de haber considerado solamente la experiencia de estar dentro de un fluido, en nuestro caso, el aire, la atmósfera. un fluido opone resistencia a la caída libre según la forma o área del cuerpo, y eso ocasiona roce, que se opone a la fuerza de gravedad y hace que distintos objetos caigan a velocidades distintas.
pero en el vacío, todos los cuerpos, independiente de su masa, son solamente afectados por la gravedad, y caen con la misma aceleración.
esta concepción del movimiento duró dos mil años, hasta Newton.
Newton, nacido en 1643, publicó en 1687 su libro “Principios matemáticos de filosofía natural”, donde expone sus 3 leyes de movimiento y cambió esta percepción.
todos los cuerpos permanecen moviéndose en línea recta a velocidad constante, hasta que se le aplica una fuerza externa.
consecuencias:
momentum (vector p) se define como la cantidad de movimiento, y es el producto entre masa m y velocidad de un cuerpo.
\[\vec{p} = m \cdot \vec{v}\]el cambio de momentum de un objeto es proporcional a la fuerza aplicada y ocurre en la dirección de la fuerza aplicada. eso en matemáticas, implica que la derivada del momentum es la fuerza, esto es.
\[\vec{F} = \frac{d \vec{p}}{dt} = \frac{d (m \cdot \vec{v})}{dt}\]si la masa m es constante, podemos simplificar así:
\[\vec{F} = m \frac{d (\vec{v})}{dt} = m \cdot \vec{a}\]lo que resulta en que la fuerza es igual al producto entre masa y aceleración.
para cada acción siempre hay una opuesta de igual magnitud.
ojo: las fuerzas no se anulan, porque se aplican en cuerpos distintos. ejemplo:
si una pelota está reposando en la superficie de la tierra, la fuerza de gravedad que ejerce la tierra sobre la pelota, tiene su reacción en la fuerza opuesta: la atracción que ejerce la pelota por sobre la tierra.
si la pelota está en reposo, no es porque esas fuerzas se anulen, es porque la fuerza de atracción que ejerce la tierra sobre la pelota, es contrarrestada por la fuerza normal que ejerce la superficie de la tierra sobre la pelota. estas dos fuerzas actuando sobre la pelota se contrarrestan, haciendo que el vector F sea 0, y por lo tanto, aceleración cero, y con eso, velocidad constante.
como ya vimos, existen 4 fuerzas fundamentales de la naturaleza, y en este curso estudiaremos 2: las gravitatoria y la electromagnética.
otro avance que hizo Newton, fue a través de experiencias empíricas, fue definir la ley de gravitación universal, con una ecuación que describe el vector F de fuerza entre dos cuerpos, donde:
esta ley de gravitación universal postula que existe una fuerza gravitacional que hace cada cuerpo contra el otro que cumple con:
la ecuación entonces resulta:
\[F = G \frac{m_1 \cdot m_2}{r^2}\]esa ecuación es útil para encontrar la magnitud de estas fuerzas ejercidas entre los cuerpos, y si queremos encontrar los vectores fuerza, basta con multiplicar ese escalar $F$ por una dirección.
si notamos el vector F(1,2) como la fuerza que hace el cuerpo m1 sobre m2, y el vector unitario r(1,2) como el vector unitario que va desde m2 a m1 podemos escribir así la ecuación:
\[\vec{F_{1,2}} = F \cdot \hat{r_{2,1}} = G \frac{m_1 \cdot m_2}{r^2} \cdot \hat{r_{2, 1}}\]estos videos están disponibles con subtítulos en español