jueves 22 agosto 2024
la clase anterior repasamos conceptos básicos de matemática, incluyendo:
la clase de hoy es la unidad 1: cinemática en 1 y 2 dimensiones
en cinemática, describiremos y modelaremos los vectores de posición x, velocidad v y de aceleración a de cuerpos, sin importar las fuerzas ni las causas de estos movimientos.
en 1D:
en 2D:
adicionales:
\[\Delta = Delta = final - inicial\]aceleración es cambio de velocidad en el tiempo, entonces por definición:
\[a(\Delta t) = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{v_2 - v_1}{t_2 - t_1}\]donde Delta significa diferencia, y la ecuación anterior se lee como la aceleración en una ventana de tiempo, es igual a la variación de velocidad en esa ventana de tiempo, dividida por la ventana de tiempo.
velocidad es cambio de posición el tiempo, entonces por definición:
\[v(\Delta t) = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{x_2 - x_1}{t_2 - t_1}\]en este curso simplificaremos nuestros cálculos, usando una aceleración promedio, que notaremos como a y es una constante, entonces:
\[a(t) = a\]nuestra aceleración será un número constante, y no dependerá del tiempo, o en otras palabras, tendrá el mismo valor para todo instante de tiempo.
si conocemos la aceleración promedio a en un instante, podemos usar como ventana de tiempo el tiempo entre origen t=0s y ese instante, y así escribir la aceleración en ese instante de tiempo entre ellos como:
\[a = \frac{v(t) - v(t_0)}{t - t_0}\]podemos simplificar ya que sabemos que el instante inicial es 0s:
\[a = \frac{v(t) - v(t_0)}{t}\]y sabemos que la velocidad inicial en el instante t=0, es una constante, que podemos llamar v sub 0, entonces:
\[a = \frac{v(t) - v_0}{t}\]y despejando la velocidad v(t), tenemos la ecuación de velocidad:
\[v(t) = v_0 + a \cdot t\]nota: velocidad se mide en metros / segundo.
la posición x(t) en el instante de tiempo t, es igual a la posición inicial $x_0$ más el producto entre la velocidad promedio v y el tiempo t.
\[x(t) = x_0 + v_{promedio} \cdot t\]a su vez, la velocidad promedio la podemos plantear como:
\[v_{promedio} = \frac{v(t) + v_0}{2}\]y a su vez, podemos escribir $v(t)$ en función de de la velocidad inicial y la aceleración:
\[v_promedio = \frac{(v_0 + a \cdot t) + v_0}{2} = v_0 + \frac{a \cdot t}{2}\]y reemplazando en la ecuación de posición x(t) resulta en:
\[x(t) = x_0 + (v_0 + \frac{a \cdot t}{2}) \cdot t\]y desarrollando:
\[x(t) = x_0 + v_0 \cdot t + \frac{1}{2} a \cdot t^2\]con aceleración promedio a, podemos escribir las ecuaciones de posición y aceleración asi:
\[x(t) = x_0 + v_0 \cdot t + \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^2\] \[v(t) = v_0 + a \cdot t\]en 2D basta con tomar la ecuación de 1D y reemplazar por vectores:
\[\vec{v}(t) = \vec{v_0} + \vec{a} \cdot t\]y descomponiendo en componentes x e y, tenemos el sistema:
\[v_{x}(t) = v_{x0} + a_{x} \cdot t\] \[v_{y}(t) = v_{y0} + a_{y} \cdot t\]en 2D basta con tomar la ecuación de 1D y reemplazar por vectores:
\[\vec{x}(t) = \vec{x_0} + \vec{v_0} \cdot t + \frac{1}{2} \vec{a} \cdot t^2\]y descomponiendo en los ejes x e y:
\[x(t) = x_0 + v_{x0} \cdot t + \frac{1}{2} a_{x} \cdot t^2\] \[y(t) = y_0 + v_{y0} \cdot t + \frac{1}{2} a_{y} \cdot t^2\]podemos escribir las ecuaciones de posición y aceleración asi:
\[x(t) = x_0 + v_{x0} \cdot t + \frac{1}{2} a_{x} \cdot t^2\] \[y(t) = y_0 + v_{y0} \cdot t + \frac{1}{2} a_{y} \cdot t^2\] \[v_{x}(t) = v_{x0} + a_{x} \cdot t\] \[v_{y}(t) = v_{y0} + a_{y} \cdot t\]las ecuaciones de velocidad en 1D y 2D del estilo:
\[v(t) = v_{0} + a \cdot t\]las podemos pensar como ecuaciones con variable independiente $t$, donde v es la variable dependiente de t, y donde:
a su vez, si analizamos las ecuaciones de posición en 1D y 2D del estilo:
\[x(t) = x_0 + v_0 \cdot t + \frac{1}{2} a \cdot t^2\]podemos ver que
y si nos concentramos en la variable t de tiempo, recordemos que:
consideración:
la ecuación es:
\[v = \omega \cdot r\]donde
si tenemos una velocidad angular constante, podemos plantear esta ecuación como:
\[\omega = \frac{v}{r}\]donde $v$ es directamente proporcional a $r$, entonces con velocidad angular constante, a mayor radio, mayor velocidad.
por lo tanto, un cuerpo muy cerca del centro va más lento que uno a mayor distancia.
eso aplica a las canchas para correr, donde a la personas que corren más fuera del centro se les da una ventaja, y después durante la carrera se les permite a todes ir al centro, para que corran la misma distancia.