jueves 12 septiembre 2024
unidad 4: dinámica y cinemática de cuerpo rígido
hasta ahora, en cinemática, dinámica, energía y trabajo, hemos utilizado los siguientes supuestos:
primero definamos un cuerpo rígido: definición de cuerpo rígido: un cuerpo rígido tiene una masa constante y un volumen sólido e indeformable.
en la clase de hoy, veremos cuerpos rígidos por lo que los supuestos que usaremos son:
como nuestros cuerpos ahora no son puntos, sino que son volúmenes, pueden rotar.
en vez de medir su desplazamiento lineal como una distancia metros, vamos a medir su desplazamiento angular en radianes.
una vuelta completa es 360 grados, lo que equivale a 2 por Pi radianes.
\[360^{\circ} = 2 \cdot \pi \cdot radianes\] \[ángulo = \theta(t)\]similarmente a la velocidad lineal, que es la diferencia de posición en el tiempo, la velocidad angular es la diferencia de posición angular en el tiempo y la anotamos con la letra griega omega minúscula.
\[\omega(t) = \frac{\Delta \theta}{\Delta t}\]comparemos las ecuaciones de velocidad lineal y velocidad angular:
\[v(t) = v_0 + a \cdot t\] \[\omega(t) = \omega_0 + \alpha \cdot t\]notar que aceleración angular la anotamos con la letra griega alpha.
el torque lo anotamos con la letra griega tau.
\[\tau = torque\]el torque es el producto entre estos 3 términos:
y la ecuación resulta:
\[\tau = r \cdot F \cdot sin(\theta)\]la unidad en la que se mide torque es Newton por metro, lo que simboliza fuerza aplicada sobre un radio o brazo.
veamos los casos extremos cuando el torque es nulo (cero).
a partir de la ecuación de torque
\[\tau = r \cdot F \cdot sin(\theta)\]distinguimos que en estos casos el torque es nulo:
por qué la manilla de la puerta está en el extremo opuesto al centro de rotación?
si tenemos una barra que usamos como palanca, y la barra mide 75 cm, y aplicamos en su extremo una fuerza de 25 N, en un ángulo de 45 grados, cuánto es el torque que aplicamos?
de la ecuación de torque
\[\tau = r \cdot F \cdot sin(\theta)\]podemos reemplazar
\[\tau = 0.75 \cdot m \cdot 25 \cdot N \cdot sin(45^{\circ})\]y calcular
\[\tau = \frac{3}{4} \cdot 25 \cdot \frac{\sqrt(2)}{2} \cdot N \cdot m\]y aproximando:
\[\tau \approx 13.26 \cdot N \cdot m\]en un balancín, tendremos una barra de un cierto largo L, que puede girar en torno a su punto medio, y podemos hacer fuerzas a ambos lados del punto medio, para hacerlo girar, y podemos revisar hacia dónde va a girar, o si va a estar equilibrado.
por ejemplo:
si tenemos un balancín de largo 10m, y hacemos a su lado izquierdo una fuerza perpendicular de 4N, a una distancia de 3m del centro de rotación, cuánto torque recibe el balancín?
de la ecuación de torque
\[\tau_1 = r \cdot F \cdot sin(\theta)\]podemos reemplazar
\[\tau_1 = 3 \cdot m \cdot 4 \cdot N \cdot sin(90^{\circ})\]y desarollando
\[\tau_1 = 12 \cdot N \cdot m\]como esta fuerza ejerce este torque sobre el balancín, va a girar. si queremos contrarrestar ese torque para que quede en equilibrio, podemos hacer una fuerza al otro lado de la barra, que la haga girar en dirección contraria.
podemos preguntarnos, qué fuerza F se necesita hacer en ángulo 90 grados y a 1m del centro de rotación del otro lado del balancín para contrarrestar el torque de 12 Nm?
de la ecuación de torque
\[\tau_2 = r \cdot F \cdot sin(\theta)\]podemos reemplazar:
\[12 \cdot N \cdot m = 1 \cdot m \cdot X \cdot N \cdot sin(90^{\circ})\]dividimos a ambos lados por Nm:
\[12 = X \cdot sin(90^{\circ})\]y como sin(90 grados) es igual a 1:
\[X = 12\]con esto, necesitamos una fuerza de 12 N en 90 grados y a 1m del centro de rotación para contrarrestar el torque y que el sistema balancín quede en equilibrio y no gire.
notamos que esta fuerza de 12 N es mayor que la que está al otro lado del balancín que es de 4N, ya que el torque es directamente proporcional tanto a la distancia como a la fuerza.
\[\tau = r \cdot F \cdot sin(\theta)\]entonces si distancia o fuerza aumentan, el torque también aumenta.
y si queremos mantener un torque constante, a mayor distancia menos fuerza, y viceversa, a menor distancia mayor fuerza.